Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M為AA₁上的點，且AM=2MA₁，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M點的最短路線長為4

2

，設這條最短路線與C₁C的交點為N．求：
（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2） PC和NC的長；
（3）此棱柱的表面積；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反正切函數表示）．

Answer 1

分析：（1）直接求解三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2）利用側面展開圖，MP₁就是由點P沿棱側面經過CC₁到點M的最短路線．設PC=x，通過解三角形求出 PC和NC的長；
（3）直接求出底面面積，側面面積即可得到此棱柱的表面積；
（4）連接PP₁說明∠NHC所成二面就是平面NMP與平面ABC角的平面角，求出平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反正切函數表示）．

解答：解：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為6的矩形，
其對角線長為

92+62

=

117

=3

13

；（3分）
（2）如圖1，將側面BC₁旋轉120°使其與側面AC₁在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點P沿棱側面經過CC₁到點M的最短路線．設PC=x，
則P₁C=x，在Rt△MAP₁中，（3+x）²+4²=32?x=1，

NC

MA

=

P1C

P1A

=

1

4

，∴NC=1（6分）
（3）棱柱的表面積為S表=S側+2S底=6×9+2×

1

2

×32sin600=54+

9 3

2

．（8分）
（4）連接PP₁（如圖2），則PP₁就是NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連接CH，由三垂線定理得，CH⊥PP₁
∴∠NHC所成二面就是平面NMP與平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，
∴CH=

1

2

，在Rt△NCH中tan∠NHC=

NC

CH

=

2

3

，
即∠NHC=arctan

2

3

．（12分）

點評：本題考查轉化思想的應用，空間幾何問題常轉化為平面幾何問題解決，即空間問題平面化，要注意線線、線面、面面的平行、垂直關系的轉化．求角與距離的關鍵是把距離與角轉化為平面內的角與距離．
空間幾何中的角有三類：1、兩條異面直線所成的角：定義（略），范圍：（0⁰，90⁰]；
求法：平移--構成三角形，（一般是，見了中點找中點，形成中位線）；2、直線與平面所成的角：
定義（略），范圍：[0⁰，90⁰]，求法：找射影--構成直角三角形．（一般是，作垂線，連垂足與斜足即射影，斜線，這三條線組成直角三角形）；3、二面角：定義（略），范圍：[0⁰，180⁰]，求法：找平面角，具體方法有四種：（1）定義法；（2）三垂線法；（3）垂面法；（4）射影面積法．