Question

已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

．
（I）求f（x）的最大值，及當取最大值時x的取值集合．
（II）在三角形ABC中a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，對定義域內任意x有f（x）≤f（A），且b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）將函數f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數的性質，可求f（x）的最大值及當取最大值時x的取值集合．
（II）根據對定義域內任意x有f（x）≤f（A），求得A=

π

3

，再利用余弦定理，即可求得結論．

解答：解：（I）f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

=2

3

sinx+2cosx=4sin(x+

π

6

)．
當x+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)時，即x=2kπ+

π

3

(k∈Z)，f（x）取得最大值為4
∴f（x）的最大值為4，最大值時x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

3

，(k∈Z)}．
（II）∵對定義域內任意x有f（x）≤f（A），
∴A=2kπ+

π

3

(k∈Z)
∵A為三角形的內角
∴A=

π

3

∵b=1，c=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴a=

3

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查余弦定理的運用，解題的關鍵是化簡函數．