Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的周期和遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出此函數(shù)的增區(qū)間；
（II）由x的范圍求出相位的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題設(shè)f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin(2x+

π

6

)-1，
則y=f（x）的最小正周期為：π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈z）得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈z），
（2）由x∈[-

5π

12

，

π

3

]，可得-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

考察函數(shù)y=sinx，易知-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
于是-3≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1．  
故y=f（x）的取值范圍為：[-3，1]．

點(diǎn)評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題，