Question

（本題滿分12分）

設函數，，是的一個極大值點．

   （Ⅰ）若，求的取值范圍；

   （Ⅱ） 當是給定的實常數，設是的3個極值點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識．

   （Ⅰ）解：時，，

，

令，，

設是的兩個根，

   （1）當或時，則不是極值點，不合題意；

   （2）當且時，由于是的極大值點，故

 ，即，

(Ⅱ)解：，

令，

，

于是，假設是的兩個實根，且

由（Ⅰ）可知，必有，且是的三個極值點，

則，

假設存在及滿足題意，

（1）當等差時，即時，

則或，

于是，即

此時

或

   （2）當時，則或

①若，則，

于是，

即

兩邊平方得，

于是，

此時，

此時=

②若，則，

于是，

即

兩邊平方得，

于是，

此時

此時

綜上所述，存在b滿足題意，

當b=－a－3時，，

時，，

時，.