Question

已知函數f（x）=asinx-x+b（a，b均為正常數）．
（1）若a=2，求函數f（x）在區間[0，π]上的單調減區間；
（2）設函數在x=

π

3

處有極值．
①對于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)恒成立，求b的取值范圍；
②若函數f（x）在區間(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是單調增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=2時，函數f（x）=2sinx-x+b，求導函數可得：f′（x）=2cosx-1，令f′（x）＜0，結合x∈[0，π]，可得函數的單調減區間；
（2）f′（x）=acosx-1，利用函數在x=

π

3

處有極值，可得f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)可化為：sinx-cosx-x＞-b，構造函數g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，  

π

2

]，求出函數的最小值，即可求得b的取值范圍；
②由(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)得：

2m-1

3

π＞

m-1

3

π，所以m＞0，求出的單調增區間，利用函數f（x）在區間(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是單調增函數，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）a=2時，函數f（x）=2sinx-x+b，求導函數可得：f′（x）=2cosx-1
令f′（x）＜0，可得cosx＜

1

2

∵x∈[0，π]，∴

π

3

＜x＜π
∴函數的單調減區間為(

π

3

，π)
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得：f′(

π

3

)=0，所以a=2，所以f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)可化為：sinx-cosx-x＞-b
記函數g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，  

π

2

]
g′(x)=cosx+sinx-1=

2

sin(x+

π

4

)-1x∈[0，  

π

2

]，所以x+

π

4

∈[

π

4

， 

3π

4

]，g′（x）＞0
函數在x∈[0，  

π

2

]上是增函數，最小值為g（0）=-1
所以b＞1，
所以b的取值范圍是（1，+∞）
②由(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)得：

2m-1

3

π＞

m-1

3

π，所以m＞0
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z
∵函數f（x）在區間(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是單調增函數，
∴

m-1

3

π≥2kπ-

π

3

且

2m-1

3

π≤2kπ+

π

3

∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值、單調區間，考查分離參數法求解恒成立問題，正確運用導數是關鍵．