Question

（本大題13分）已知函數（為常數）
（1）若在區間上單調遞減，求的取值范圍；
（2）若與直線相切：
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設在處取得極值，記點M (,)，N(,)，P(), , 若對任意的m (, x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，試確定的最小值，并證明你的結論.

Answer 1

(1)      (2)    (i)a=-3 ， ii) 2.

(1)根據在上恒成立，然后再分離常數轉化為最值問題來解決.
（2）（i）與直線相切可知切點（x₀,-9）在f(x)的圖像上，并且,
從而可求出切點坐標，及a值.
（ii）先求出MN的坐標，進而求出MN的直線方程，然后再與y=f(x)聯立消去y得到關于x的一元三次方程，說明此方程在區間[x_M,x_N]上有實數解，再構造函數利用導數確定其圖像從而確定t的取值范圍，確定出t的最小值.
(1)      (2)    (i)a=-3 
ii)

即
又因為,所以m 的取值范圍為(2,3)
又因為,所以m 的取值范圍為(2,3)
從而滿足題設條件的的最小值為2. ………….