Question

如圖，是圓柱的母線，是圓柱底面圓的直徑，是底面圓周上異于的任意一點，.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積的最大值.

Answer 1

(I)證明:  ∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C， 
∴BC⊥平面AA₁C.            --------------------6分
(Ⅱ)解：設AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) , 
故(0<x<2),　
即.
∵0<x<2，0<x²<4，∴當x²=2，
即時，三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.

略