Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）用[a]表示不大于a的最大整數(shù)．令集合P={1，2，3，4，5}，對(duì)任意k∈P和m∈N*，定義f(m， k)=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，集合A={m

k+1

|m∈N*， k∈P}，并將集合A中的元素按照從小到大的順序排列，記為數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求證：在數(shù)列{a_n}中，不大于m0

k0+1

的項(xiàng)共有f（m₀，k₀）項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)新的定義列式，然后根據(jù)[a]表示不大于a的最大整數(shù)進(jìn)行求解，即可求出所求；
（II）根據(jù)數(shù)列{a_n}是將集合A中的元素按從小到大的順序排立而成，然后設(shè)計(jì)一表格，從而求出a₉的值；
（III）分別求出（II）中表格的每一行共有多少個(gè)數(shù)不大于m0

k0+1

，然后相加，即可根據(jù)定義即可得到結(jié)論．

解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由已知知f(1，2)=[

3 2

]+[

3 3

]+[

3 4

]+[

3 5

]+[

3 6

]=1+1+0+0+0=2．
所以f（1，2）=2．                                                    …（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是將集合A={m

k+1

|m∈N*，k∈P}中的元素按從小到大的順序排立而成，
所以我們可設(shè)計(jì)如下表格

km	1	2	3	4	5	‥‥	m0
1	2	2 2	3 2	4 2	‥‥		‥‥
2	3	2 3	3 3	4 3	‥‥
3	4	2 4	3 4	‥‥	‥‥
4	5	2 5	3 5	‥‥	‥‥
5	6	2 6	3 6	‥‥	‥‥

從上表可知，每一行從左到右數(shù)字逐漸增大，每一列從上到下數(shù)字逐漸增大．
且

2

＜

3

＜

4

＜

5

＜

6

＜2

2

＜2

3

＜2

4

＜3

2

＜2

5

＜‥‥
所以 a9=3

2

．                                                    …（8分）
（Ⅲ）任取m₁，m₂∈N*，k₁，k₂∈P，
若m1

k1+1

=m2

k2+1

，則必有m₁=m₂，k₁=k₂．
即在（Ⅱ）表格中不會(huì)有兩項(xiàng)的值相等．
對(duì)于m0

k0+1

而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有m₁的數(shù)不大于m0

k0+1

，
則m₁

2

≤m0

k0+1

，即m₁≤

m0 k0+1

2

，所以m₁=[

m0 k0+1

2

]，
同理，第二行共有m₂的數(shù)不大于m0

k0+1

，有m₂=[

m0 k0+1

3

]，
第i行共有m_i的數(shù)不大于m0

k0+1

，有m_i=[

m0 k0+1

i+1

]．
所以，在數(shù)列{a_n}中，不大于m0

k0+1

的項(xiàng)共有

5

i=1

[m0

k0+1 i+1

]項(xiàng)，即f（m₀，k₀）項(xiàng)．
…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂新的定義，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．