Question

【題目】已知a為實數，函數f(x)＝aln x＋x2－4x.

(1)是否存在實數a，使得f(x)在x＝1處取得極值？證明你的結論；

(2)設g(x)＝(a－2)x，若x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據反證法求解，利用求得后再根據函數的單調性判斷，可得結論不成立．（2）問題等價于x0∈，使得(x0－ln x0)a≥－2x0成立，經驗證可得x0－ln x0>0，分離參數后得到“x0∈，使得成立”，然后令，求出的最小值后可得所求的范圍．

(1)由題意得函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，

∵f(x)＝aln x＋x2－4x，

∵f′(x)＝＋2x－4＝．

假設存在實數a，使f(x)在x＝1處取得極值，

則，解得a＝2，

此時，f′(x)＝，

當x>0時，f′(x)≥0恒成立，

∴ f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

∴ x＝1不是f(x)的極值點．

故不存在實數a，使得f(x)在x＝1處取得極值．

(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x－2x0，

記F(x)＝x－ln x(x>0)，則F′(x)＝ (x>0)，

∴ 當0<x<1時，F′(x)<0，F(x)單調遞減；

當x>1時，F′(x)>0，F(x)單調遞增．

∴ F(x)>F(1)＝1>0，

∴ a≥，

記G(x)＝，x∈，

∴G′(x)＝＝．

∵ x∈，

∴ 2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，

∴ x －2ln x＋2>0，

∴ 當x∈時，G′(x)<0，G(x)單調遞減；

當x∈(1，e)時，G′(x)>0，G(x)單調遞增，

∴ G(x)min＝G(1)＝－1．

∴ a≥G(x)min＝－1．

故實數a的取值范圍為[－1，＋∞)．