Question

下列幾個命題：
①函數f（x）=x²+（a-3）x+a有兩個零點，一個比0大，一個比0小，則a＜0；
②函數y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數，但不是奇函數；
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-3，1]；
④函數f（x）的定義域為[-2，4]，則函數f（3x-4）的定義域是[-10，8]，
⑤函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
⑥函數y=（x-1）²與y=2^x-1在區間[0，+∞）上都是增函數，
其中正確的有

①⑤

．

Answer 1

分析：①利用根的存在性定理判斷．②利用函數奇偶性的定義判斷．③利用平移不改變函數的值域去判斷．④利用復合函數的定義域關系去判斷．
⑤利用指數函數和對數函數的定義和性質判斷．⑥利用函數的單調性判斷．

解答：解：①要使函數有兩個零點，一個比0大，一個比0小，則有f（0）＜0，即a＜0，所以①正確．
②要使函數有意義，則有

x2-1≥0 1-x2≥0

，即

x2≥1 x2≤1

，解得x²=1，此時x=1或x=-1，此時函數y=0，為既是奇函數也是偶函數，所以②錯誤．
③因為函數f（x+1）是由f（x）向左平移一個單位得到的，平移不改變函數的值域，所以函數f（x+1）的值域為[-2，2]，所以③錯誤．
④因為函數f（x）的定義域為[-2，4]，即-2≤x≤4，由-2≤3x-4≤4，解得

2

3

≤x≤

8

3

，即函數f（3x-4）的定義域是[

2

3

，

8

3

]，所以④錯誤．
⑤因為a^x＞0，所以對數函數的定義域為R，所以⑤正確．
⑥函數y=（x-1）²的對稱軸為x=1，所以在區間[0，+∞）上函數不單調，所以⑥錯誤．
故答案為：①⑤．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷以及函數的性質的應用和判斷，綜合性較強．