Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，設函數f(x)=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值； 
（2）當

1

2

≤x≤2時，求函數f（x）的值域；
（3）若不等式f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數g（x）的對稱軸可知其在[2，3]上的單調性，根據單調性可表示出g（x）的最大、最小值，分別令其等于4，1可得方程組，解出即可；
（2）先由（1）得到函數f（x），利用導數可判斷f（x）在[

1

2

，2]上的單調性，據單調性可得函數的最大值、最小值，從而得值域；
（3）f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等價于f（x）_min≥k在[

1

2

，2]上恒成立，借助（2）問可得答案；

解答：解：（1）由于函數g（x）的對稱軸為直線x=1，a＞0，
所以g（x）在[2，3]上單調遞增，
則

g(2)=1 g(3)=4

，即

4a-4a+1+b=1 9a-6a+1+b=4

，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，f（x）=x+

1

x

-2，f′（x）=1-

1

x2

，
當x∈[

1

2

，1)時，f′（x）＜0，當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，
所以f（x）在[

1

2

，1）上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，
當x=1時f（x）取得最小值，當x=

1

2

或x=2時f（x）取得最大值，
f(x)min=0，f(x)max=

1

2

，其值域為[0，

1

2

]；
（3）因為x∈[-1，1]，所以2x∈[

1

2

，2]，
f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等價于f（x）_min≥k在[

1

2

，2]上恒成立，
由（2）知，k≤0；

點評：本題考查二次函數的性質、復合函數的單調性，利用導數求函數的最值等知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．