Question

如圖平面上有A（1，0），B（-1，0）兩點，已知圓的方程為（x-3）²+（y-4）²=2²．
（1）在圓上求一點P₁使△ABP₁面積最大并求出此面積；
（2）求使|AP|²+|BP|²取得最小值時的圓上的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于三角形的面積只與底長和高有關系，又|AB|=2為定值，所以在圓上只要找到最高點即可；
（2）設P（x，y），則由兩點之間的距離公式，可表示|AP|²+|BP|²，要|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|²最小即可．

解答：解：（1）∵三角形的面積只與底長和高有關系，又|AB|=2為定值，
∴在圓上只要找到最高點即可                     
又∵圓心坐標為（3，4），半徑為2
∴P₁橫坐標為3，縱坐標為4+2=6  …
∴P₁（3，6），S△ABP1=

1

2

×2×6=6…
（2）設P（x，y），則由兩點之間的距離公式知
|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2
要|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|²最小即可…
又P為圓上的點，所以（|OP|）_min=|OC|-r（r為半徑）
（|OP|）_min=|OC|-r=

32+42

-2=3…
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20此時直線OC：y=

4

3

x…
由

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

解得

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍）…
∴點P的坐標為(

9

5

，

12

5

)…

點評：本題以圓為載體，綜合考查圓的方程，考查三角形的面積，考查距離公式，有一定的綜合性．