Question

已知有窮數列{a_n}只有2k項（整數k≥2），首項a₁=2，設該數列的前n項和為S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常數a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a=2

2

2k-1

，數列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，（n=1，2，3，…，2k），Tn=

1

n

(b1+b2+b3+…+bn)，求證：1≤T_n≤2．

Answer 1

分析：（1）分別表示出S_n和S_n-1．進而根據a_n=S_n-S_n-1．求得a_n+1=a•a_n，推斷出數列{a_n}為等比數列，進而根據等比數列的通項公式求得a_n．
（2）把數列{a_n}的通項公式代入數列{b_n}的通項公式，根據n的范圍確定b_n的范圍．

解答：解：（1）n≥2時，Sn=

an+1-2

a-1

，Sn-1=

an-2

a-1

兩式相減得Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，
∴a_n+1=a•a_n，
當n=1時，a1=S1=

a2-2

a-1

=2，
∴a₂=2a，
則，數列{a_n}的通項公式為a_n=2•a^n-1．
（2）把數列{a_n}的通項公式代入數列{b_n}的通項公式，
可得bn=

1

n

log2(a1a2an)
=

1

n

(log2a1+log2a2++log2an)
=

1

n

[1+(1+

2

2k-1

)+(1+

4

2k-1

)++(1+

2n-2

2k-1

)]
=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

∵1≤n≤2k，
故1≤b_n≤2

點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列遞推式的題難度較大，形式多樣，故應加強練習．