Question

【題目】在直角坐標系中，點到兩點，的距離之和等于，設點的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）過點作直線與曲線交于點、，以線段為直徑的圓能否過坐標原點，若能，求出直線的方程，若不能請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，直線的方程為：.

【解析】

（1）根據橢圓的定義求得，根據兩個定點求得c，由此求得b，進而求得曲線的方程.（2）設出直線l的方程，聯立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理.根據直徑所對的圓周角為直角，得到，即，將前面韋達定理得到的表達式代入，化簡求得的值，由此求出符合題意的直線的方程.

(1)設，由橢圓定義可知，點的軌跡C是以，為焦點，長半軸為2的橢圓.它的短半軸，故曲線C的方程為.

(2)設直線，分別交曲線C于，，其坐標滿足 ,消去并整理得.故 ，.若以線段AB為直線的圓過坐標原點，則，即,

而，于是

化簡得，所以，所以 所以直線l的方程為：