Question

 (Ⅰ)試比較的大小；

     (Ⅱ)試比較nn+1與(n+1)n(n∈N+)的大小，根據(Ⅰ)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，則；

            又，，則；

            所以. …………………………………………6分

(Ⅱ)當n=1,2時，有nn+1<(n+1)n.………………………………………8分

    當n≥3時，有nn+!>(n+1)n. 證明如下：

    令，.

    又.

    ∴an+1>an即數列{an}是一個單調遞增數列.

    則an>an-1>…>a3>1

    ∴即nn+1>(n+1)n. ……………………………………16分

另證：構造函數f(x)=(x≥3)，f(x)==，

      ∴f(x)=在[3,+∞為遞減函數，則f(n)>f(n+1)，

即，，∴，

即nn+1>(n+1)n(n≥3時結論成立).