Question

【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

當(dāng)時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機(jī)科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實(shí)際收益的大小；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機(jī)的熱效率大幅提高，服從正態(tài)分布，公司對科技改造團(tuán)隊(duì)的獎勵方案如下：若發(fā)動機(jī)的熱效率不超過，不予獎勵；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過但不超過，每臺發(fā)動機(jī)獎勵2萬元；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過，每臺發(fā)動機(jī)獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機(jī)獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.

（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，可得結(jié)論；（2）求得樣本，可得當(dāng)x＞17億元時，y與x滿足的線性回歸方程，令x＝20，可得所求大小；（3）由正態(tài)分布的計(jì)算公式，以及數(shù)學(xué)期望公式，可得所求值．

（1）由表格中的數(shù)據(jù)，有，即，

所以模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.

所以當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為

（億元）.

（2）由已知可得：，所以.

，所以.

所以.

所以當(dāng)億元時，與滿足的線性回歸方程為：.

所以當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值.

所以當(dāng)億元時，實(shí)際收益的預(yù)測值為億元億元.

所以技改造投入20億元時，公司的實(shí)際收益的更大.

（3）因?yàn)?/span>，

所以，，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

設(shè)每臺發(fā)動機(jī)獲得的獎勵為（萬元），則的分布列為：

	0	2	5
	0.0228	0.8185	0.1587

所以每臺發(fā)動機(jī)獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為

（萬元）.