Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，點(diǎn)在直線上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n和為T_n，求使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．
（Ⅲ）設(shè)是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把點(diǎn)點(diǎn)代入直線方程，進(jìn)而求得，則S_n可得．進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n．整理b_n+2-2b_n+1+b_n=0得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，判斷出{b_n}為等差數(shù)列根據(jù)b₃和b₇求得公差，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得b_n．
（Ⅱ）先用裂項(xiàng)法求得T_n，進(jìn)而求得T_n-T_n-1＞0，推知T_n單調(diào)遞增，進(jìn)而求得T_n的最小值，則k的范圍可得．
（Ⅲ）把（1）中求得的b_n和a_n代入函數(shù) 解析式，分別看m為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)利用f（m+15）=5f（m）求得m，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得
故當(dāng)n≥2時(shí)，
注意到n=1時(shí)，a₁=S₁=6，而當(dāng)n=1時(shí)，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}為等差數(shù)列
于是
而
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）=
所以，=
由于，
因此T_n單調(diào)遞增，故
令
（Ⅲ）
①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)．
此時(shí)f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．
②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)．
此時(shí)f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以（舍去）．
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用．?dāng)?shù)列題是高考中常考的題型，常與函數(shù)、不等式、指數(shù)函數(shù)、冪數(shù)函數(shù)綜合考查，平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)．