Question

（2013•寧德模擬）已知函數f（x）=x³+bx+c在點（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
（Ⅰ）求實數b，c的值；
（Ⅱ）求函數g（x）=[f（x）-x³]e^x在區間[t，t+1]的最大值；
（Ⅲ）設h（x）=f（x）+6lnx，問是否存在實數m，使得函數h（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線的斜率都大于m？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．（e為自然對數的底數，e≈2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根據切點既在切線上又在函數f（x）的圖象上，建立一個等式關系，再根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，建立另一個關系式，解方程組即可求出b和c的值；
（II）先求導數gˊ（x），在函數的定義域內解不等式gˊ（x）＞0和gˊ（x）＜0，結合對字母t分類討論，即可求出函數的單調區間，從而得出其最大值；
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數m，使得函數h（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線的斜率都大于m．則問題可以轉化為h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，則問題可以轉化為求函數3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上的最小值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）∵點P在切線上，
∴f（1）=0．
∴1+b+c=0．①（2分）
又函數圖象在點P處的切線斜率為2，
∴f'（1）=2，
又f'（x）=3x²+b，
∴3+b=2．②（4分）
解由①②組成的方程組，可得b=-1，c=0．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-x，∴g（x）=-xe^x，g′（x）=-（x+1）e^x，
令g'（x）＞0，可得x＜-1；
令g'（x）＜0，可得x＞-1．（7分）
①當t+1＜-1即t＜-2時，函數g（x）在區間[t，t+1]上單調增，得g（x）_max=g（t+1）=-（t+1）e^t+1；
②當t≤-1≤t+1＜即-2≤t≤-1時，函數g（x）在區間[t，-1]上單調增，在區間[-1，t+1]上單調減，得g（x）_max=g（-1）=

1

e

；
③當t＞-1時，函數g（x）在區間[t，t+1]上單調減，得g（x）_max=g（t）=-te^t；
綜上，g（x）_max=

-(t+1)et+1，t＜-2 1 e ，-2≤t≤-1 -tet，t＞-1

．
（Ⅲ）假設存在實數m，使得函數h（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））連線的斜率都大于m，即

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞m，不妨設x₂＞x₁＞0，
則問題可以轉化為h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，
∴y=h（x）-mx在（0，+∞）上是增函數，∴y′=3x²-1+

6

x

-m≥0，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，
設H（x）=3x²-1+

6

x

，由H′（x）=6x-

6

x2

＞0，得x＞1，H′（x）＜0，得0＜x＜1．
可知Hf（x）在（0，1）上是減函數，在（ 1，+∞）上是增函數．
∴H（x）的最小值為H（1）=8≥m．（11分）
∴存在m，且m的取值范圍是（-∞，8]．（13分）

點評：本題是一綜合題，考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，以及直線的斜率的應用．