Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，點（a_n，S_n）都在直線2x-y-1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n²=2bn，設cn=

bn

an

，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知點（a_n，S_n）都在直線2x-y-1=0上可得2a_n-s_n-1=0，利用遞推公式an=

s1          n=1 sn-sn-1   n≥2

可求a_n
（2）由（1）可求b_n=2n-2，則數列b_n為等差數列，而數列a_n為等比數列，則cn=

bn

an

=(2n-2)•(

1

2

)n-1，適合用錯位相減求數列{c_n}的和．

解答：解：（1）由已知2a_n-s_n-1=0①
當n≥2時，2a_n-1-s_n-1-1=0②（2分）
①-②得2a_n-2a_n-1-a_n=0
整理得

an

an-1

=2
又n=1時2a₁-s₁-1=0，得a₁=1
∴{a_n}是首次a₁=1，公比q=2的等比數列（5分）
故a_n=2^n-1
（2）由a_n²=2^b_n
（2^n-1）²=2^b_n
2^n-2=2^b_n
得b_n=2n-2（6分）
則c_n=

bn

an

=

2n-2

2n-1

=（2n-2）•(

1

2

)n-1（7分）
T_n=c₁+c₂…+c_n-1+c_n
=0•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+(2n-4)•(

1

2

)n-2+(2n-2)•(

1

2

)n-1①

1

2

T_n=0•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+(2n-4)•(

1

2

)n-1+(2n-2)•(

1

2

)n②（10分）
①-②，得

1

2

T_n=2•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+2•(

1

2

)n-1+(2n-2)•(

1

2

)n
=2•

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-2)•(

1

2

)n（12分）
解得T_n=4-（2n+2）•(

1

2

)n-1．（13分）

點評：本題考查數列的遞推公式的運用、錯位相減求和的運用，該求和方法已知求和的熱點、難點，運用的關鍵是理解該方法的實質，掌握該求和的基本步驟．