Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在點處的切線方程．

（2）若對任意的恒成立，求的值．

（3）在（2）的條件下，記，證明：存在唯一的極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實數的值為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求得切線的方程；

（2）等價轉化為對任意的恒成立,令,求得，按照,,分類討論，利用導數研究函數的單調性，并注意，得到實數的值；

（3）求得，令，利用導數研究單調性和最值，并根據零點存在定得到存在唯一的實數,使得,進而分析單調性，

是的唯一極大值點.由，可得到,

利用的范圍和二次函數的性質可以證明最后的結論.

（1）∵，∴，

當時，，，

切線方程為：,即;

（2）的定義域為,對任意的恒成立，等價于

,即對任意的恒成立,

令,,

當時，在上, 單調遞減，在上,單調遞增，

∴恒成立，符合題意；

當時，在上, 單調遞增，

注意到，故,不合題意；

時，在上,單調遞減，

∴,不合題意，

綜上所述，，所以實數的值為.

（3），

，

令，則，

在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，

,又∵，，

∴存在唯一的實數,使得,

在在內,單調遞增，在內,單調遞減，在在內,單調遞增，

∴是的唯一極大值點.

由

,

由于，,證明完畢.