Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC、BD交于點O，連接OM．

則AO=OC，又PM=MC，

∴PA∥OM．

∵PA平面BMD，OM平面BMD，

∴PA∥平面BMD

（2）證明：解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

則P（0，2，2 ），B（4，0，0），D（0，4，0），

=（﹣4，2，2 ）， =（﹣4，4，0），

設平面BPD的法向量 =（x，y，z），

則 ，

取x=1，得 =（1，1， ），

平面ABD的法向量 =（0，0，1），

設二面角P﹣BD﹣A的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值為

【解析】（1）連接AC、BD交于點O，連接OM，推導出PA∥OM，由此能證明PA∥平面BMD．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．