Question

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F是AB的中點，G是AD的中點，EC與平面ABCD成30°角．
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數．

Answer 1

（1）證明：如圖所示，∵△ADE是等邊三角形，
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD（4分）
（2）連接CG，則CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中：
∵AD=2，
∴EG=

3

，
∴CG=3
在Rt△CDG中：
∵DG=1，GC=3，
∴DC=2

2

則AF=BF=

2

，GF=

3

，FC=

6

∴GF²+FC²=GC²，
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC內的射影，
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．
在Rt△EGF中，EG=GF=

3

∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度數為45°（12分）