Question

如圖：兩點分別在射線上移動，
且,為坐標原點，動點滿足

（1）求點的軌跡的方程;
（2）設，過作（1）中曲線的兩條切線，切點分別
為，①求證:直線過定點;
②若,求的值。

Answer 1

（1）；（2）②.

試題分析：（1） 設動點的坐標為，由
另由
于是由此可消去上參數方程中的參數而得點的軌跡方程.
（2）①設，先用導數求出雙曲線在處的切線，利用兩切線均過點得到直線的方程并進一步證明其過定點.
②由①可知，設直線的方程為，易知且，
所以可利用方程組消去得，再結合韋達定理解決.
解：（1）由已知得，，即
設坐標為，由得：
∴，消去可得，
∴軌跡的方程為：                          4分
（2）①由（1）知，即
設，則，
∴，即，
∵在直線上，∴  ⑴同理可得，     ⑵
由⑴⑵可知， ∴直線過定點                9分
②由①可知，設直線的方程為，易知且，將直線的方程代入曲線C的方程得：
∴
又
 即   ∴                      13分