Question

已知正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，現將△沿翻折成直二面角，如圖．

（I）證明：∥平面；
（II）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使？證明你的結論．

Answer 1

解：法一：（I）證明：如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   
∴AB∥平面DEF．  ………………………………………………3分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   …………………………………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．  ……………………………………8分
（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE    ……………………………9分
證明：在線段BC上取點P，使，過P作PQ⊥CD與點Q，
∴PQ⊥平面ACD   ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．          …………………………………………12分
法二：（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，
平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為
則即

所以二面角E—DF—C的余弦值為．     …………………………8分
（Ⅲ）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為
設

所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．      …………………12分   

略