Question

【題目】已知為等比數列，其前項和為，且滿足，．為等差數列，其前項和為，如圖_____，的圖象經過兩個點．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在正整數，使得，求的最小值．從圖①，圖②，圖③中選擇一個適當的條件，補充在上面問題中并作答．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案不唯一，詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）設數列的為公比為，由條件可得，，由此可求；

（Ⅱ）由圖判斷數列的單調性，以確定是否滿足存在“存在，使得”，再根據等差數列的通項公式求出，再代值檢驗求出滿足條件的．

解：（Ⅰ）設為公比為的等比數列，

由，，得，即，，

∴，，

∴；

（Ⅱ）由圖①知：，，可判斷，數列是遞減數列；

而數列遞增，由于，

∴選擇①不滿足“存在，使得”；

由圖②知：，，可判斷，數列是遞增數列；

由圖③知：，，可判斷，數列是遞增數列.

∴選擇②③均可能滿足“存在，使得”.

第一種情況：

如果選擇條件②即，，可得：，，

當時，不成立，

當時，，，

∴使得成立的的最小值為；

第二種情況：

如果選擇條件③即，，可得：，，

當時，不成立，

當時，，，

∴使得成立的的最小值為．