Question

有一海灣，海岸線為近似半個橢圓（如圖），橢圓長軸端點為A，B，AB間距離為3km，橢圓焦點為C，D，CD間距離為2km，在C，D處分別有甲，乙兩個油井，現準備在海岸線上建一度假村P，不考慮風向等因素影響，油井對度假村廢氣污染程度與排出廢氣的濃度成正比（比例系數都為k₁），與距離的平方成反比（比例系數都為k₂），又知甲油井排出的廢氣濃度是乙的8倍．
（1）設乙油井排出的濃度為a（a為常數）度假村P距離甲油井xkm，度假村P受到甲乙兩油井的污染程度和記為f（x），求f（x）的表達式并求定義域；
（2）度假村P距離甲油井多少時，甲乙兩油井對度假村的廢氣污染程度和最小？

Answer 1

分析：（1）由點P在橢圓上，知|PC|+|PD|=3，設|PC|=x，則|PD|=3-x，由此可得P點受甲油井污染程度、受乙油井污染程度，即可求得污染程度和；
（2）令f(x)=

8ak1k2

x2

+

ak1k2

(3-x)2

=ak₁k₂（

8

x2

+

1

9-6x+x2

），求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的最小值．

解答：解：（1）由點P在橢圓上，知|PC|+|PD|=3，設|PC|=x，則|PD|=3-x．
P點受甲油井污染程度為

8ak1k2

x2

，P點受乙油井污染程度為

ak1k2

(3-x)2

污染程度和為f(x)=

8ak1k2

x2

+

ak1k2

(3-x)2

，定義域為[

1

2

，

5

2

]
（2）令f(x)=

8ak1k2

x2

+

ak1k2

(3-x)2

=ak₁k₂（

8

x2

+

1

9-6x+x2

），
求導函數，可得f′（x）=18ak₁k₂×

(x-2)(x2-6x+12)

x3(3-x)3

令f′（x）=0，解得x=2．
當x∈(

1

2

，2)時，f′（x）＜0，函數為減函數；當x(2，

5

2

)時，f′（x）＞0，函數為增函數； 
當x=2時，f（x）取得最小值．
答，度假村距離甲油井2km時，甲、乙兩油井對度假村的廢氣污染程度和最小．

點評：本題考查導數的應用，考查函數思想，考查閱讀能力、建模能力、運算能力．屬于中檔題．