Question

已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為正常數）．
（1）證明函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）設函數f（x）在x=

π

3

處有極值，對于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]內至少有一個零點，代入f（0）和f（a+b）利用零點定理進行求解；
（2）對f（x）進行求導，利用函數f（x）在x=

π

3

處有極值，可得f′（

π

3

）=0，求出a的值，將問題轉化為b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立，利用常數分離法進行求解；

解答：解：（1）∵f（0）=b＞0…（2分）
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…（4分）
∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點…（6分）
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…（7分）
由題意得f′(

π

3

)=0，即acos

π

3

-1=0⇒a=2…（8分）
問題等價于b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立…（9分）
記g（x）=x+cosx-sinx，
則g′(x)=1-sinx-cosx=1-

2

sin(x+

π

4

)…（10分）
∵0≤x≤

π

2

⇒

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

…（11分）
∴

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
即1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，

π

2

]上是減函數…（12分）
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范圍是（1，+∞）…（13分）

點評：此題主要考查函數的零點定理以及函數的恒成立問題，利用導數研究函數的最值和極值問題，是一道基礎題；