Question

在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數列，a₂，b₂，a₃+2成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=abn，求數列{c_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解方程可求q，d，代入等差與等比數列的通項可求                  
                                  
（Ⅱ）由cn=3•bn-2=2•3n-2，利用分組求和，結合等比數列的求和

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）．
由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．                  …（3分）
∴a_n=3n-2，bn=2•3n-1．                                      …（7分）
（Ⅱ）cn=3•bn-2=2•3n-2．                               …（10分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=2×

3(1-3n)

1-3

-2n
=3ⁿ⁺¹-2n-3．                                             …（14分）

點評：本題主要考查了利用基本量表示等差數列、等比數列的通項、及等比數列與等差數列的求和公式的應用．