Question

【題目】設數列{an}的各項都為正數，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是和an的等差中項．

(1)證明：數列{an}為等差數列；

(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大項的值并求出取最大值時n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當n＝2或n＝3時，{an·bn}的最大項的值為6.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，利用項和公式推理，最后證明數列{an}為等差數列.(2)第（2）問，先計算出an·bn，再利用二次函數求它的最大值.

試題解析：

(1)證明：由已知可得2Sn＝＋an，且an>0，

當n＝1時，2a1＝＋a1，解得a1＝1；

當n≥2時，有2Sn－1＝＋an－1，

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝-＋an－an－1，所以-＝an＋an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，

因為an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．

故數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列．

(2)由(1)可知an＝n，設cn＝an·bn，則cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－

因為n∈N*，當n＝2或n＝3時，{an·bn}的最大項的值為6.