Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E為PD的中點
（1）求異面直線PA與CE所成角的大小；
（2）（理）求二面角E-AC-D的大小．
（文）求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）要求異面直線PA與CE所成角的大小，我們可以采用平移法，過E做PA的平行線EF，則EF與CE所成的角即為兩條異面直線所成的角，解三角形△CEF即可得到答案．
（2）（理）要求二面角E-AC-D的大小，我們要先做出二面角的平面角，根據三垂線定理，我們易得∠EHF即為所求，解三角形EHF即可得到答案．
（文）要求三棱錐A-CDE的體積，我們可以轉化為求三棱錐E-ACD的體積，計算出△ACD面積，結合（1）中EF（棱錐的高）代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）過E作EF⊥AD交AD于F，
則∠CEF是異面直線PA與CE的夾角（3分）
連接CF，在Rt△CEF中EF=

1

2

，CF=

2

∴tan∠CEF=2

2

，
∴夾角大小為arctan2

2

（7分）

（2）過F作FH⊥AC于H，
則∠EHF是二面角E-AC-D的平面角（10分）
HF=

1

5

，tan∠EHF=

5

2

∴二面角E-AC-D的大小為arctan

5

2

（14分）
（2）（文）VA-CDE=VE-ACD=

1

3

(

1

2

×1×2)×

1

2

=

1

6

（14分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，異面直線所成的角，二面角及其度量，（1）中求異面直線夾角問題的關鍵是利用平移法，將異面直線所成的角轉化為相交直線的夾角（2）（理）中求二面角的大小關鍵是構造出二面角的平面角，（文）中求棱錐的體積，利用轉化思想可以簡化計算．