Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，點E在PD上，且PE：ED=2：1。

（1）證明PA⊥平面ABCD；
（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論。

Answer 1

解：（1）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2，知PA⊥AB 同理，PA⊥AD， 所以PA⊥平面ABCD。
（2）作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD 作GH⊥AC于H，連結EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角 又PE：ED=2：1， 所以 從而，。
（3）當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下， 取PE的中點M，連結FM，則FM//CE ① 由 知E是MD的中點 連結BM、BD，設BD∩AC=O，則O為BD的中點 所以BM//OE ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC 又BF平面BFM， 所以BF//平面AEC。