Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A，B，C為拋物線上三點．若，且．
（1）求拋物線方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直線AB與x軸交于一點（m，0），求m．
（2）（理）若以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，則求證直線AB經過一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），根據根據拋物線的定義得：…①；根據向量的坐標運算得：…②，聯解①②可得拋物線方程為：y²=4x；
（2）（文）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據OA⊥OB，得=x₁x₂+y₁y₂=0…③．再由直線y=k（x-m）與拋物線方程消去x得：ky²-4y-4km=0，結合韋達定理得：y₁y₂=-4m，結合拋物線方程求得x₁x₂=（y₁y₂）²=m²，將它代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（理）設直線AB方程為：y-y₁=k（x-x₁），其中斜率k==，直線AB方程化為：y-y₁=（x-x₁）．結合以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，
可以證明出x₁x₂+y₁y₂=0…④，將x₁=y₁²，x₂=y₂²，代入④得：（y₁y₂）²+y₁y₂=0，從而y₁y₂=-16，可得y₂=-．最后將y₂=-和代入直線AB方程，化簡可得：4x-（y₁+）y-16=0，再令y=0得x=4，因此直線AB經過定點（4，0）．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵點A（x₁，y₁）在拋物線y²=2px上，
∴根據拋物線的定義得，同理可得，
∵，
∴…①
∵，∴=（，y₁），=（，y₂），=（，y₃），
又∵，
∴…②
聯解①②得：P=2    
因此，拋物線方程為：y²=4x
（2）（文）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴=x₁x₂+y₁y₂=0…③
設過點m的直線方程為：y=k（x-m），
由，消去x得：ky²-4y-4km=0
由韋達定理得：y₁y₂=-4m，所以x₁x₂=•=（y₁y₂）²=m²，
將上式代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（2）（理）設直線AB方程為：y-y₁=k（x-x₁），
其中斜率k===
∴直線AB方程化為：y-y₁=（x-x₁），
∵以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，
∴∠AOB=90°，可得向量，所以=x₁x₂+y₁y₂=0…④
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在拋物線y²=4x上，
∴x₁=y₁²，x₂=y₂²，代入④得：（y₁y₂）²+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-16（舍y₁y₂=0），可得y₂=-，
將y₂=-和代入直線AB方程，化簡可得：4x-（y₁+）y-16=0
令y=0，得x=4，因此直線AB經過定點（4，0）．
點評：本題以直線方程和向量的坐標運算為載體，著重考查了拋物線的標準方程和拋物線的簡單幾何性質，屬于中檔題．