Question

已知圓M：(x+

3

a)2+y2=16a2(a＞0)及定點N(

3

a，0)，點P是圓M上的動點，點G在MP上，且滿足|GP|=|GN|，G點的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若點A（1，0）關于直線x+y-t=0（t＞0）的對稱點在曲線C上，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設G（x，y），由|PG|+|GM|=4a，且|PG|=|GN|，知|GM|+|GN|=4a＞2

3

a，由橢圓定義，能求出曲線C的方程．
（II）設A（1，0）關于直線x+y-t=0（t＞0）的對稱點為A′（m，n），則

n m-1 •(-1)=-1 m+1 2 + n 2 -t=0

，故A′（t，t-1），由A′（t，t-1）在曲線C：

x2

4a2

+

y2

a2

=1上，知5t²-8t+4-4a²=0，t＞0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（I）設G（x，y），
∵|PG|+|GM|=4a，且|PG|=|GN|，
∴|GM|+|GN|=4a＞2

3

a，
由橢圓定義，得曲線C的方程為

x2

4a2

+

y2

a2

=1．
（II）設A（1，0）關于直線x+y-t=0（t＞0）的對稱點為A′（m，n），
則

n m-1 •(-1)=-1 m+1 2 + n 2 -t=0

，
∴

m=t n=t-1

，
∴A′（t，t-1），
∵A′（t，t-1）在曲線C：

x2

4a2

+

y2

a2

=1上，
∴t²+4（t-1）²=4a²，
化簡，得5t²-8t+4-4a²=0，t＞0，
∵此方程有正根，令f（t）=5t²-8t+4-4a²，
其對稱軸為t=

4

5

＞0，
∴△=（-8）²-4×5（4-4a²）≥0，
∴a≥

5

5

，或a≤-

5

5

，
∵a＞0，∴a≥

5

5

．

點評：本題考查曲線方程的求法和求實數的取值范圍，具體涉及到橢圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、根與系數的關系等基本知識，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．