Question

(本小題滿分14分)已知定義域為的單調函數是奇函數，當時，.
（I）求的值；
（II）求的解析式；
（III）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

試題分析： （I）因為f(x)是奇函數，所以f(-1)=-f(1)從而問題得解.
（II）因為f(x)為R上的奇函數，所以f(0)=0,然后用-x代替中的x,-f(x)代替中的f(x)再兩邊同乘以-1可得x<0的解析式.從而可得f(x)在R上的解析式是一個分段函數.
(III) 因為f(x)為定義域為的單調函數，并且由于由于當x
>0時，f(x)是,從而可得f(x)在R上是減函數，所以由得進一步可得,所以,然后再轉化為一元二次不等式恒成立問題解決即可。
（1）定義域為的函數是奇函數 ，所以-------2分
（2）定義域為的函數是奇函數     ------------4分 
當時，             
又函數是奇函數            
                       ------------7分
綜上所述      ----8分
（3）且在上單調
在上單調遞減                      -------10分
由得
是奇函數      
，又是減函數  ------------12分
即對任意恒成立
 得即為所求----------------14分
點評：奇函數的圖像關于原點對稱，因而在求對稱區間上的解析式時，可用利用-x,-f(x)分別代替對稱區間上解析式中的x,f(x)即可得到所求區間上的解析式.另外奇函數在對稱區間上具有相同的單調性，當定義域中有0值時，f(0)=0這些都是奇函數常用的結論，勿必記住.