Question

（本小題滿分14分）
如圖，三棱錐中，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若為線段上的點，設，問為何值時能使
直線平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

方法一：
（Ⅰ） ，
∴ ，，
 ，
∴ 平面．                        　   ……………………3分
（Ⅱ）當M為PC中點時，即時，直線平面，　　   …………4分
證明如下：
由（Ⅰ）知平面，平面，∴ ，　 ……5分
在等腰中， M為中點，∴ ，         …………6分
又，
∴ 平面．                               　  ……………8分
（Ⅲ）
由(Ⅱ)知當M為PC中點時，平面， 平面，
∴ 平面平面．                        ……………………9分
過作于，∴ 平面                                                         
作于，連結，由三垂線定理可知，．
∴ 為二面角的平面角．           ……………………11分
設，則．
在中，，
由(Ⅰ)知平面，平面，∴ ．
在中，．
由面積公式得,,            ……………12分
同理，在中，由面積公式得， ……………13分
在中，．
所以二面角的大小為．       ……………………14分
方法二：
(Ⅰ)同方法一．                                      　    …………………3分
(Ⅱ)如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．                      

設，則， 　  …………………4分
當M為PC中點時，即時，直線平面．   …………………5分
證明如下：
當M為PC中點時，．
，,．
,                    
∴ ，即．                          ………………6分
，            
∴ ，即．                           ………………7分
又，∴ 平面．                ……………8分
（Ⅲ）可證平面．                                   
則平面法向量為，                          ……………9分
下面求平面PBC的法向量．
設平面PBC的法向量為，
,，
，
令，則，                     　   ……………………12分
．
所以二面角的大小為．          ……………………14分