Question

設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對應的f（x）的零點的取值集合為______．
（2）若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．

Answer 1

（1）因為c＞a，由c≥a+b=2a，所以

c

a

≥2，則ln

c

a

≥ln2＞0．
令f（x）=a^x+b^x-c^x=2ax-cx=cx[2(

a

c

)x-1]=0．
得(

c

a

)x=2，所以x=

ln2

ln c a

≤

ln2

ln2

=1．
所以0＜x≤1．
故答案為{x|0＜x≤1}；
（2）因為f(x)=ax+bx-cx=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，
又

a

c

＜1，

b

c

＜1，
所以對?x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞(

a

c

)1+(

b

c

)1-1=

a+b-c

c

＞0．
所以命題①正確；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

．不能構成一個三角形的三條邊長．
所以命題②正確；
若三角形為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命題③正確．
故答案為①②③．