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已知函數 $數學公式$ ，證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．

證明：∵函數 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，設 x₂＞x₁＞-1，
f（x₂）-f（x₁）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
由 x₂＞x₁＞-1 可得，（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＞0， $\text{[math]}$ ＞0，故f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
分析：函數 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，設 x₂＞x₁＞-1，化簡f（x₂）-f（x₁）等于（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，大于零，即f（x₂）＞f（x₁），
從而可得函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
點評：本題主要考查增函數的定義，證明一個函數在某區間上是增函數的方法，屬于基礎題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

例4、已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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已知函數f（x）=-

x2-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a為常數．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函數，且h′（x）存在零點（h′（x）為h（x）的導函數）．
（1）求a的值；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數y=g（x）的圖象上兩點，g′(x0) =

y2-y1

x2-x1

（g′（x）為g（x）的導函數），證明：x₁＜x₀＜x₂．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，其中a、b∈R且f(

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在區間（-1，1）上的單調性，并用單調性定義證明你的結論；
（3）解關于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•藍山縣模擬）已知函數f(x)=

ax3+

bx2+cx（a＞0）．
（1）若函數f（x）有三個零點分別為x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f′(1)=-

a，3a＞2c＞2b，證明：函數f（x）在區間（0，2）內一定有極值點；
（3）在（2）的條件下，若函數f（x）的兩個極值點之間的距離不小于

，求

的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）為R上的增函數，證明：存在唯一的實數，使得對任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

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