Question

設函數是定義域為R的奇函數．

(1)求k值；

(2)(文)當0＜a＜1時，試判斷函數單調性并求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；

(理)若f(1)＜0，試判斷函數單調性并求使不等式恒成立的t的取值范圍；

若f(1)＝，且g(x)＝a^2x＋a^－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值為－2，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數， 　　∴f(0)＝0　　2分 　　∴1－(k－1)＝0，∴k＝2　　4分 　　(2)(文) 　　 　　，單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減　　6分 　　原不等式化為：f(x2＋2x)＞f(4－x) 　　∴x2＋2x＜4－x，即x2＋3x－4＜0　　8分 　　∴， 　　∴不等式的解集為{x|}　　10分 　　(2)(理) 　　 　　　　6分 　　單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減　　7分 　　不等式化為 　　恒成立　　8分 　　，解得　　10分 　　(3)∵f(1)＝，，即 　　　　12分 　　∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2． 　　令t＝f(x)＝2x－2－x， 　　由(1)可知f(x)＝2x－2－x為增函數 　　∵x≥1，∴t≥f(1)＝， 　　令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥)　　15分 　　若m≥，當t＝m時，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2　　16分 　　若m＜，當t＝時，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝＞，舍去　　17分 　　綜上可知m＝2　　18分