Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為（-，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足2sinB=．
（1）求頂點(diǎn)B的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)C做傾斜角為θ的直線與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)θ∈（0，時(shí)，求△APQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2sinB=，根據(jù)正弦定理得2b=，結(jié)合b=2，可得a+c=4由橢圓定義知頂點(diǎn)B的軌跡為橢圓，可求
（2）設(shè)PQ方程為y=tanθ（x+）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求得x₁+x₁，x₁x₂，然后可求|PQ|及點(diǎn)A到PQ的距離d，代入可求△ABC的面積，由基本不等式可求最大值
解答：解：（1）因?yàn)?sinB=，根據(jù)正弦定理得2b=
又b=2，所以a+c=4由橢圓定義知頂點(diǎn)B的軌跡為橢圓，其方程為
（2）設(shè)PQ方程為y=tanθ（x+），θ∈（0，
由得（1+4tan²θ）x²+8xtan²θ+12tan²θ-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
又|PQ|=，點(diǎn)A到PQ的距離d=，θ∈（0，
S_△ABC=≤2
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，△APQ的最大面積為2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由三角形的正弦定理求解點(diǎn)的軌跡方程，直線與曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合試題