Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax-a（a∈R）．
（1）當a=-3時，求函數f（x）的極值；
（2）設g（x）=f（x）+f′（x）+ax²，若函數g（x）在區間（-1，1）有極值，求a的取值范圍；
（3）若函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-3時，求出導函數f′（x）的零點，然后判斷導數在零點兩側的符號，由此可得極值情況；
（2）g（x）在區間（-1，1）有極值，即g′（x）=0在（-1，1）內有解，且在解的兩側導數異號；
（3）函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，即函數f（x）只有一個零點，用導數研究函數f（x）的單調性、極值，由零點存在的條件可得關于a的約束條件，由此可求其范圍．

解答：解：（1）當a=-3時，f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3，
∴f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=3．
當x＜-1時，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）上單調遞增；
當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，則f（x）在（-1，3）上單調遞減；
當x＞3時，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上單調遞增；
∴當x=-1時，f（x）取得極大值為：f（-1）=-

1

3

-1+3+3=

14

3

；
當x=3時，f（x）取得極小值為：f(3)=

1

3

×27-9-9+3=-6．
（2）∵g(x)=

1

3

x3+ax2+(a-2)x，g′(x)=x2+2ax+a-2
問題轉化為方程g′（x）=0在區間（-1，1）內有解，
∴g′（-1）•g′（1）＜0或

△=4a2-4(a-2)＞0 -1＜-a＜1 g′(1)=3a-1＞0 g′(-1)=-a-1＞0

，
解得a＜-1或a＞

1

3

，
故a的取值范圍為：（-∞，-1）∪（

1

3

，+∞）．
（3）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，則△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調遞增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
②若a＜1，則△＞0，
∴f'（x）=0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
當x變化時，f′（x），f（x）的取值情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵

x

2 1

-2x1+a=0，
∴a=-

x

2 1

+2x1．∴f(x1)=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1-a=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1+

x

2 1

-2x1=

1

3

x

3 1

+(a-2)x1=

1

3

x1[

x

2 1

+3(a-2)]，
同理f（x₂）=

1

3

x2[

x

2 2

+3(a-2)]．
∴f(x1)•f(x2)=

1

9

x

1

x

2

[

x

2 1

+3(a-2)]•[

x

2 2

+3(a-2)]=

1

9

(x1x2)[(x1x2)2+3(a-2)(

x

2 1

+

x

2 2

)+9(a-2)2]
=

1

9

a{a2+3(a-2)[(x1+x2)2-2x1x2]+9(a-2)2}=

4

9

a(a2-3a+3)．
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而當0＜a＜1時，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故當0＜a＜1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，可導函數f（x）在點x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右兩側異號．