Question

已知函數f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）當a=1時，求y=g（x）-f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若在區間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求a的取值范圍；
（3）設h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x），得到函數y=g（x）-f（x）的解析式，求出x=1時對應點的坐標，求出f^′（1），利用點斜式寫出切線方程；
（2）把在區間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方轉化為x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，把參數a分離出后構造函數g（x）=x2-

lnx

x

，利用導函數求該函數的最小值，則a的范圍可求；
（3）經分析可知函數h（x）為偶函數，求函數在[-1，1]上的最大值可轉化為求函數在[0，1]上的最大值，當a小于等于0時函數f（x）[0，1]上恒大于0且單調遞增，問題極易解決，當a大于0時，求出函數f（x）的導函數的零點，根據a的具體范圍分段，然后利用導函數的符號得到原函數的單調性，從而得到函數h（x）的最大值情況．

解答：解：（1）當a=1時，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
當x=1時，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=

1

x

-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在區間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立．
設g（x）=x2-

lnx

x

，則g′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤

1

3

；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數，故只要求在[0，1]上的最大值．
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②當a＞0時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）當

a

≥1，即a≥1時，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

]上單調遞減，在[

a

，1]單調遞增；
1°當f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上單調遞增，在[

a

，1]單調遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

時，
（ⅰ）當-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）當-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(a)=-f(

a

)=2a

a

．
綜上  F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．

點評：本題考查利用導數求曲線上在某點的切線方程，考查利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．考查了數學轉化思想和分類討論的數學思想方法，正確的分類是解答該題的關鍵，此題屬難題．