Question

設a、b、c分別是先后擲一枚質地均勻的正方體骰子三次得到的點數．
（1）求使函數f(x)=

1

3

bx3+

1

2

(a+c)x2+(a+c-b)x-4在R上不存在極值點的概率；
（2）設隨機變量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：若f（x）在R上不存在極值點，則f′（x）≥0恒成立，即△=（a+c-2b）²≤0，可得a、b、c成等差數列再結合a，b，c的取值計算出概率．
（2）隨機變量ξ可能取的值為0，1，2，3，4，5，分別列出計算出其包含的基本事件，再求出其發生的概率，進而列出分布列求出期望．

解答：解：（1）由題意可得：f′（x）=bx²+（a+c）x+（a+c-b）…（1分）
若f（x）在R上不存在極值點，則f′（x）≥0恒成立
∴△=（a+c）²-4b（a+c-b）≤0…（2分）即（a+c-2b）²≤0
∴a+c=2b
∴a、b、c成等差數列…（4分）
又a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}
按公差分類a、b、c成等差數列共有6+4×2+4=18種情況
故函數f（x）在R上不存在極值點的概率P=

18

6×6×6

=

1

12

…（6分）
（2）隨機變量ξ可能取的值為0，1，2，3，4，5
若ξ=0，則a=b，所以P(ξ=0)=

6

36

=

1

6

若ξ=1，則a=b+1或b=a+1，所以P(ξ=1)=

10

36

=

5

18

同理：P(ξ=2)=

8

36

=

2

9

，P(ξ=3)=

6

36

=

1

6

，P(ξ=4)=

4

36

=

1

9

，P(ξ=5)=

2

36

=

1

18

…（10分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 6	5 18	2 9	1 6	1 9	1 18

所以Eξ=0×

1

6

+1×

5

18

+2×

2

9

+3×

1

6

+4×

1

9

+5×

1

18

=

35

18

…（13分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等可能事件的概率，以及掌握離散型型隨機變量的分布列與期望求法，是一個綜合題，本題是一個中檔題，注意運算結果不要出錯．