Question

已知函數f（x）=x³+ax^•2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為

10

10

．若x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
（1）求a、b、c的值；
（2）設g（x）=x³+k+8lnx，若關于x的方程f（x）=g（x）在[1，e]內有且只有一個實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，對其進行求導，求出其在x=1處的斜率，求出其極值點，然后求出切線l的解析式，再根據點到直線的距離，切線l不過第四象限，得到m、a、b、c的值；
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，方程f（x）=g（x）可化為：2x²-4x-81nx+5=k，設h（x）=2x²-4x-8lnx+5（x＞0），對其進行求導，得到其單調區間，從而求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b．
當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．…①
當x=

2

3

時，y=f（x）有極值，則f′(

2

3

)=0，可得4a+3b+4=0…②
由①、②解得a=2，b=-4．設切線l的方程為y=3x+m
由原點到切線l的距離為

10

10

，則

|m|

32+1

=

10

10

．
解得m=±1
∵切線l不過第四象限，
∴m=1，
∴切線方程為y=3x+1，
由于l切點的橫坐標為x=1，
∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，
∴c=5
∴a=2，b=-4，c=5
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
方程f（x）=g（x）可化為：2x²-4x-81nx+5=k．
設h（x）=2x²-4x-8lnx+5（x＞0），
則h′(x)=4x-

8

x

-4．
令h^′（x）=0，得x=2（負值舍去）．

x	[1，2）	2	（2，e]
h'（x）	-	O	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴h（x）在x=2處取得極小值h（2）=5-8ln2．
又h（1）=3，h（e）=2e²-4e-3，且h（e）＜h（1）．
∴h（x）的大致圖象如右圖：
∴由圖知，當k=5-8ln2或2e²-4e-3＜k≤3時，方程f（x）=g（x）在[1，e]內有且只有一個實數根．

點評：此題主要考查導數研究區間的點的切線及其單調區間，還考查了點到直線的距離，有一定的難度，此題是一道綜合題；