開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源：黑龍江省鶴崗一中2011－2012學年高一上學期期中考試數學理科試題 題型：013
下列給出的函數中，是冪函數的是
A．y＝3x
B．y＝2x3
C．y＝x－3
D．y＝x3－1
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科目：高中數學 來源：101網校同步練習 高二數學 蘇教版(新課標·2004年初審) 蘇教版 題型：044
求下列函數的導數(先設中間變量，再求導)．
(1)y＝(5x－3)4
(2)y＝(2＋3x)5
(3)y＝(2－x2)3
(4)y＝(2x3＋x)2
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科目：高中數學 來源：全優設計選修數學－1-1蘇教版 蘇教版 題型：044
求下列多項式函數的導函數．
(1)y＝2x3－3x2＋5x－4；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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