Question

【題目】（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點.

（1）證明：直線 平面PAB

（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析

（2）

【解析】（1）取中點，連接、、

∵、分別為、中點

∴，又∵

∴，∴四邊形為平行四邊形

∴平面

（2）取中點，連，由于為正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，連，四邊形為正方形。

∵平面，∴平面平面

而平面平面

過作，垂足為，∴平面

∴為與平面所成角，

∴

在中，，∴，

設，，，

∴，∴

在中，，∴

∴，，

以為坐標原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，，，，

，

設平面的法向量為，，∴

∴，而平面的法向量為

設二面角的大角為（為銳角）

∴。