Question

已知函數y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)相鄰的兩個最高點和最低點分別為(

π

6

，2)，(

2π

3

，-2)
（Ⅰ）求函數表達式；
（Ⅱ）求該函數的單調遞減區間；
（Ⅲ）求x∈[0，

π

2

]時，該函數的值域．

Answer 1

分析：（I）根據函數y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)相鄰的兩個最高點和最低點分別為，可分析出函數的最值，確定A的值，分析出函數的周期，確定ω的值，將(

π

6

，2)代入解析式，結合|φ|＜

π

2

，可求出φ值，進而求出函數的解析式．
（II）由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，求出自變量的取值范圍，可得函數的單調遞減區間；
（Ⅲ）由x∈[0，

π

2

]，求出相位角2x+

π

6

的取值范圍，進而根據正弦函數的圖象求出最值，可得函數的值域．

解答：解：（I）由函數圖象相鄰的兩個最高點和最低點分別為(

π

6

，2)，(

2π

3

，-2)
∵A＞0
∴A=2
∵

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，ω＞0
∴ω=2
∴y=2sin（2x+φ）
將(

π

6

，2)代入y=2sin（2x+φ）得sin（

π

3

+φ）=1
即

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z
即φ=

π

6

+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

∴φ=

π

6

∴函數表達式為2sin（2x+

π

6

）
（II）由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，得
x∈[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
∴函數的單調遞減區間為[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
（III）當x∈[0，

π

2

]時，
2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，函數取最大值2
當2x+

π

6

=

7π

6

時，即x=

π

2

時，函數取最小值-1
∴函數的值域為[-1，2]

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的解析式求法，正弦型函數的單調區間，正弦型函數在定區間上的值域，熟練掌握正弦型函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．