Question

【題目】已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:直線恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組，解出方程組即可得橢圓方程；（2）連結(jié)設(shè)，由橢圓的性質(zhì)可得出，故而可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，解出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得出，得出與的關(guān)系，代入直線方程即可得定點(diǎn).

（1）因?yàn)?/span>，所以，即橢圓的方程為

（2）連結(jié)設(shè)則

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，不妨設(shè)在軸上方，

因?yàn)?/span>，所以

（ii）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，

即，所以

因?yàn)?/span>

所以，即或

當(dāng)時(shí)，，恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在亦符合:當(dāng)，，過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去.

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)