Question

某工廠有216名工人接受了生產1 000臺GH型高科技產品的總任務，已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置.現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置.設加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g(x)，其余工人加工完H型裝置所需時間為h(x)(單位:小時，可不為整數）.

(1)寫出g(x)、h(x)的解析式；

(2)比較g(x)與h(x)的大小，并寫出這216名工人完成總任務的時間f(x)的解析式；

(3)應怎樣分組，才能使完成總任務用的時間最少？

Answer 1

解:(1)由題意知，需加工G型裝置4 000個，加工H型裝置3 000個，所用工人分別為x人，(216-x)人.

    ∴g(x)=,h(x)=，

    即g(x)=,h(x)=(0＜x＜216,x∈N^*).

    (2)g(x)-h(x)=-=.

    ∵0＜x＜216,

    ∴216-x＞0.

    當0＜x≤86時，432-5x＞0,g(x)-h(x)＞0,g(x)＞h(x);

    當87≤x＜216時，432-5x＜0,g(x)-h(x)＜0,g(x)＜h(x).

    ∴f(x)=

    (3)完成總任務所用時間最少即求f(x)的最小值.

    當0＜x≤86時，f(x)遞減，

    ∴f(x)≥f(86)=

    ∴f(x)_min=f(86),此時216-x=130.

    當87≤x＜216時，f(x)遞增，

    ∴f(x)≥f(87)=

    ∴f(x)_min=f(87),

    此時216-x=129.

    ∴f(x)_min=f(86)=f(87)=.

    ∴加工G型裝置、H型裝置的人數分別為86、130或87、129.