Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點A（-1，0），B（1，2）

（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MN=AB，求直線l的方程；

（2）若圓C上存在兩個點P，使得PA2+PB2=a（a＞4），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x-y=0或x-y-4=0；（2）（22-8，22+8）

【解析】

(1)由題得直線AB方程為x-y+1=0， 設直線l的方程為x-y+m=0，由r2=（）2+（）2，解得m=0或-4，即得直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0；（2）設P（x，y），由題得x2+（y-1）2=-2，即得P的軌跡是以（0，1）為圓心，為半徑的圓，由兩圓相交可得-2＜＜+2，解不等式即得a的取值范圍．

解：（1）根據題意，圓C的標準方程為（x-2）2+y2=4，

所以圓心C（2，0），半徑為2．

因為l∥AB，A（-1，0），B（1，2），直線AB的方程為x-y+1=0，且|AB|==2，

設直線l的方程為x-y+m=0，

又由MN=AB=2，圓心C到直線l的距離d=

則有r2=（）2+（）2，即（）2=2，解可得m=0或-4，

故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0；

（2）根據題意，設P（x，y），

若PA2+PB2=a，則PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=a，

變形可得：x2+y2-2y+3=，即x2+（y-1）2=-2，

則P的軌跡是以（0，1）為圓心，為半徑的圓；

若圓C上存在兩個點P，使得PA2+PB2=a，則圓C與圓x2+（y-1）2=4相交，

兩圓的圓心距d′==，

則有-2＜＜+2，

解可得：22-8＜a＜22+8，

故a的取值范圍為（22-8，22+8）.