【題目】已知函數
，
．
（1）當
時，設函數
在區間
上的最小值為
，求
；
（2）設
，若函數有兩個極值點
，且
，求證：
．
【答案】（1）
；（2）證明見解析
【解析】
（1）當
時，則
，通過分類討論參數
，利用導數研究函數
在區間
上的單調性和最值，即可求得
.
（2）要證
，即證
，當
時，
，則
，構造函數
，利用導數求出
在
單調遞增，得出
，即可證明出.
解：（1）當時，函數
，則，
①當
時，
，在上單調遞增，
所以
．
②當
時，令
，解得
，
，
（i）當
時，即
時，在上單調遞增，
由上知，此時
；
（ii）當
時，即
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
；
（iii）當
時，即
時，在上單調遞減，
此時
．
綜上得：
，
即當
時，
，屬于一次函數，
由于
，則在區間
上單調遞增，
所以在區間上，
；
當
時，
，則
，
所以在區間
上單調遞增，
所以在區間上，
；
當
時，
，
綜合上述得出：
．
（2）原式轉化為求證，
當時，
，
所以
是方程
的兩根，所以
，
，
因為
且
，
，所以
，
，
所以
，
令，則
，
所以在單調遞增，所以，
即
．
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知空間中兩條直線
，
所成的角為
，
為空間中給定的一個定點，直線
過點且與直線和直線所成的角都是
，則下列選項正確的是（ ）
A.當
時，滿足題意的直線不存在
B.當
時，滿足題意的直線有且僅有1條
C.當
時，滿足題意的直線有且僅有2條
D.當
時，滿足題意的直線有且僅有3條
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四個命題：
①在回歸分析中， 
可以用來刻畫回歸效果， 
的值越大，模型的擬合效果越好；
②在獨立性檢驗中，隨機變量
的值越大，說明兩個分類變量有關系的可能性越大；
③在回歸方程
中，當解釋變量
每增加1個單位時，預報變量
平均增加1個單位；
④兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接近于1；
其中真命題是：
A. ①④ B. ②④ C. ①② D. ②③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面
平面
，
，四邊形為平行四邊形，
，
為線段
的中點，點
滿足
.
（Ⅰ）求證：直線
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）若平面
平面
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
及圓
．
（1）若直線
過點
且與圓心
的距離為1，求直線的方程；
（2）若過點的直線
與圓交于
、
兩點，且
，求以
為直徑的圓的方程；
（3）若直線
與圓交于
，
兩點，是否存在實數
，使得過點的直線
垂直平分弦
？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著城市化建設步伐，建設特色社會主義新農村，有n個新農村集結區
，
，
，…，
按照逆時針方向分布在凸多邊形頂點上(
)，如圖所示，任意兩個集結區之間建設一條新道路
，兩條道路的交匯處安裝紅綠燈(集結區，，，…，除外)，在凸多邊形內部任意三條道路都不共點，記安裝紅綠燈的個數為
.
（1）求
，
；
（2）求，并用數學歸納法證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設
為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且
，射線
交曲線分別于
，求
面積的最小值，并求此時四邊形
的面積.
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